![\"벨만-포드](\"/assets/algorithm.png\" "\\"벨만-포드")
벨만-포드는 음수 가중치가 있는 그래프에서도 작동하는 최단 경로 알고리즘으로, 음수 사이클도 감지할 수 있다.
\n다익스트라와 달리 음수 가중치를 허용하는 최단 경로 알고리즘이다. 핵심 아이디어는 “최단 경로는 최대 V-1개의 간선을 사용한다”는 점이다. 시작점에서 어떤 정점까지 가려면 최대 V-1개의 간선만 사용하면 되기 때문이다. 따라서 간선의 수 E만큼 반복해 모든 정점의 거리를 갱신하는 과정을 V-1번 반복하면 최단 거리가 확정된다.
\nV-1번 반복 후에도 거리가 갱신되면 음수 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다. 음수 사이클이 있으면 그 사이클을 계속 돌며 거리를 무한정 줄일 수 있기 때문이다. 다익스트라는 이런 경우 작동하지 않지만, 벨만-포드는 음수 가중치가 있어도 안정적으로 최단 거리를 구할 수 있다.
\n거리 배열을 초기화하고 시작점의 거리를 0으로 설정한다. 이후 V-1번 반복하며 모든 간선을 확인해 더 짧은 경로를 찾으면 거리를 갱신한다. 각 반복에서 “한 정점을 거쳐 가는 더 짧은 경로”를 발견하면 갱신하는데, V-1번 반복하면 최악의 경우에도 모든 정점까지의 최단 거리가 계산된다.
\n음수 사이클 감지를 위해 V-1번 이후에 한 번 더 모든 간선을 확인해 거리가 줄어드는지 체크한다. 값이 줄어들면 음수 사이클이 존재하므로 null이나 특수 값을 반환한다. 구현 시 그래프가 방향 그래프인지 무방향인지, 그리고 자기 자신으로 가는 간선이 있는지도 고려해야 한다.
\nfunction bellmanFord(graph, start) {\n const n = graph.length\n const INF = 1e18\n const dist = new Array(n).fill(INF)\n dist[start] = 0\n \n // V-1번 반복\n for (let i = 0; i < n - 1; i++) {\n for (let u = 0; u < n; u++) {\n if (dist[u] === INF) continue\n for (const { to, w } of graph[u]) {\n if (dist[u] + w < dist[to]) {\n dist[to] = dist[u] + w\n }\n }\n }\n }\n \n // 음수 사이클 감지\n for (let u = 0; u < n; u++) {\n if (dist[u] === INF) continue\n for (const { to, w } of graph[u]) {\n if (dist[u] + w < dist[to]) {\n return null // 음수 사이클 존재\n }\n }\n }\n \n return dist\n}\n\n// 예시 그래프\nconst graph = [\n [{ to: 1, w: 4 }, { to: 2, w: 5 }], // 0\n [{ to: 2, w: -3 }], // 1\n [{ to: 3, w: 2 }], // 2\n [] // 3\n]\n\nconsole.log(bellmanFord(graph, 0)) // [0, 4, 1, 3]\n\n// 음수 사이클이 있는 경우\nconst graphWithCycle = [\n [{ to: 1, w: 1 }], // 0\n [{ to: 2, w: 2 }], // 1\n [{ to: 0, w: -5 }] // 2 (음수 사이클: 0→1→2→0)\n]\n\nconsole.log(bellmanFord(graphWithCycle, 0)) // null (음수 사이클)